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MOVIMIENTO ARMÓNICO

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
DEFINICIÓN
El movimiento Armónico Simple (MAS) es un tipo de movimiento oscilatorio en el cual un objeto se mueve de un lado a otro a lo largo de una línea recta bajo la infleuncia de una fuerza restauradora que es proporcional al desplazamiento y actúa en dirección opuesta a este desplazamiento.
Fórmulas Importantes
Amplitud(A):
La máxima distancia que el objeto se desplaza desde su posición de equilibrio.
Frecuencia Anglar (\( {\omega} \)):
La rapidez con la que el objeto oscila, medida en radianes por segundo.
\( {\omega} = 2.{\pi}.f \)
Periodo(T):
El tiempo que tarda en completarse una oscilación completa.
\( T=\frac{2\pi}{\omega} \)
Fase Inicial (\( {\phi} \)):
El ángulo de fase en el tiempo t=0, que determina la posición inicial del objeto en su ciclo de oscilación.
Frecuencia (f):
El número de oscilaciones por unidad de tiempo.
\( f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi} \)
Fuerza Restauradora (F):
La fuerza que actúa para devolver el objeto a su posición de equilibrio.
\( F=-kx \)
Donde k es la constante de resorte
Ecuación de Posición
\( x_{(t)}=Asin({\omega}t+\phi) \)
Velocidad (V):
La rapidez y dirección del movimiento del objeto.
\( v_{(t)}=A{\omega}cos({\omega}t+\phi) \)
Aceleración (a):
La rapidez con la que cambia la velocidad del objeto.
\( a_{(t)}=-A{\omega}^2sin({\omega}t+\phi) \)
MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO (MAA)
DEFINICIÓN
El movimiento Armónico Amortiguado es un tipo de movimiento osclaorio donde la amplitud de las oscilaciones disminuye con el tiempo debido a una fuerza de fricción o resistencia que disipa la energía.
Coeficiente de Amortiguamiento (\( {\gamma} \): )
Una medida de la rapidez con la que se disipa la energía del sistema.
\( {\gamma}=\frac{b}{2m} \)
Frecuencia Angular Amortiguada ( \({\omega}_{\gamma} \) ):
La frecuencia angular de las oscilaciones cuando hay amortiguamiento.
\( {\omega}_{\gamma}=\sqrt{{\omega}^2-{\gamma}^2} \)
Fuerza de Amortiguamiento ( \( F_{amort} \) )
La fuerza que actúa en dirección opuesta a la velocidad del objeto, disminuyendo su energía.
\( F_{amort}=-\gamma v \)
CASOS DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO (MAA)
Caso Subarmortiguado ( \( \gamma < \omega \) )
En el caso subamortiguado, la fuerza de amortiguamiento es suficientemente pequeña para que el sistema siga oscilando, aunque con una amplitud que disminuye exponencialmente con el tiempo.
Características:
-Las oscilaciones son amortiguadas, pero aún presentes.
-La amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo.
-La frecuencia de las oscilaciones disminuye ligeramente debido al amortiguamiento.
Ecuación de Posición:
\( x_{(t)}=A_o.e^{-\gamma t}.sin(\omega _{\gamma} t+\phi) \)
Caso Críticamente Armortiguado ( \( \gamma = \omega \) )
En el caso criticamente amortiguado, el amortiguamiento es justo suficiente para evitar que el sistema oscile. El sistema vuelve a la posición de equilibrio lo más rápido posible sin oscilar.
Características:
- No hay oscilaciones
- El sistema retorna a la posición de equilibrio en el menor tiempo posible sin sobrepasarla
- Es el límite entre el comportamiento oscilatorio y no oscilatorio.
Ecuación de Posición:
\( x_{(t)}=(A+Bt)e^{-\gamma t} \)
Donde A y B son constantes determinadas por las condiciones iniciales
Caso Sobreamortiguado ( \( \gamma > \omega \) )
En el caso sobreammortiguado, la fuerza de amortiguamiento es tan grande que el sistema no oscila y regresa a la posición de equilibrio más lentamente que en el caso críticamente amortiguado.
Características
- No hay oscilaciones
- El sistema regresa a la posición de equilibrio más lentamente que en el caso críticamente amortiguado
- El movimiento es una combinación de dos exponentes decrecientes.
Ecuación de Posición:
\( x_{(t)}=e^{-\gamma t}(C_1e^{\sqrt{(\gamma ^2 - \omega ^2)t} }+C_2e^{\sqrt{(\gamma ^2 - \omega ^2)t}}) \)
Donde \( C_1\) y \( C_2 \) son constantes determinadas por las condiciones iniciales