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CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA

La cinemática es una rama fundamental de la mecanica clásica que se ocupa de describir el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo generan. En este contexto, "partícula" se refiere a un objeto idealizado con masa, pero sin dimensiones espaciales, lo que permite simplificar el estudio de su mvimiento.
El análisis cinemático proporiona una base esencial para la comprensión de fenomenos físicos y para el desarrollo de habilidades analíticas y matemáticas que son cruciales en diversas disciplinas científicas y de ingeniería.

DEFINICIONES PREVIAS

Partícula

Es un objeto idealizado que posee masa, pero carecec de dimensiones espaciales, lo cual permite simplificar el análisis del movimiento al considerar solo la posición y los cambios en dicha posición a lo largo del tiempo.

Trayectoria

Es el camino que sigue una partícula en su movimiento a lo largo del tiepo. La trayectoria puede ser rectilínea o curvilínea.

Desplazamiento

Es el cambio de posición de una partícula desde una posición inicial hasta una posición final. Se representa comom un vector que indica la dirección la magnitud de cambio.

Velocidad

Es la razón de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo. Se puede expresar como velocidad media o velocidad instantánea. La velocidad es un vector que tiene tanto magnitud (rapidez) como dirección.

Aceleración

Es la razónde cambio de la velocidad con respecto al tiempo. Al igual que la velocidad, la aceleración es un vector que tiene magnitud y dirección.

DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO

Movimiento rectilíneo

Es el movimiento de una partícula a lo largo de una línea recta. Se caracteriza por tener una trayectoria rectilínea y puede ser uniforme (vlocidad constante) o acelerado (velocidad variable).

Movimiento curvilineo

Es el movimiento de una partícula a lo largo de una trayectoria curva. En este tipo de movimiento, tanto la magnitud como la dirección de la velocidad pueden cambiar.

SISTEMAS DE REFERENCIA

Sistema inercial

Es un sistema de referencial en el cual las leyes de Newton son válidas y no existen fuerzas ficticias. En un sistema inercial, una partícula en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme seguirá en ee etado a menos que actúe una fuerza externa sobre ella

Sistema no inercial

Es un sistema de referencia que está acelerado respecto a un sistema inercial. En estos sistemas, aparecen fuerzas ficticias (como la fuerza centrífuga o la fuerza de Ciriolis) que deben ser consideradas para dscribir el movimiento correctamente.

TIPOS DE MOVIMIENTO

Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)

Es un tipo de movimiento, la partícula s desplaza en línea recta con una velocidad constante. No hay aceleración, lo que significa que la velocidad no cambia con el tiempo.
\( \vec{v} = cte \)
\( \vec {r} = \vec{r}(t) \)
\( \vec{r}(t) = \vec{r}(t_i) + [ \vec{v}\times(t - t_i)] \)
\( \vec{v}(t) \rightarrow \vec{r} = \int \vec{v}\, dt \)

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV)

En este caso, la partícula se mueve en línea recta con una aceleración constante.
La velocidad de la partícula cambia linealmente con el tiempo.
\( \vec{a} = cte \)
\( \vec{v}(t) \rightarrow \vec{v} = \int \vec {a}\, dt \)
\( \vec{v}(t)=\vec{v}(t_i)+ [\vec{a}\times(t-t_i)] \)
\( \vec{r}(t)=\vec{r}(t_i)+ [\vec{v}(t_i)\times(t-t_i)] + [\frac{1}{2}\times\vec{a}\times(t_f-t_i)] \)

Movimiento Parabólico de Caída Libre (MPCL)

Este tipo de movimiento ocurre n dos dimensiones y la trayectoria de la partícula es una parábola. Es típico en el caso de un proyectil lanzado bajo la influencia de la gravedad. Donde en el je X s aplica MRU (a=0) y en el eje Y se aplica MRUV (a = gravedad) donde:
Mov Parab = MRUx + MRUVy
\( t_v=\frac{2v(0)sin(\alpha)}{g} \)
\( R=\frac{v^{2}(0)sin(2\alpha)}{g} \)
\( h_{maxima}=\frac{v^{2}(0)sin^2(\alpha)}{g} \)

Movimiento Circunferencial (MCU)

En este tipo de movimiento, la partícula se desplaza en una trayectoria circular con una velocidad angular constante.
\( {\theta} ={\omega}t \)
\( T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{1}{f} \)
\( L=vt \)
\( a_c=\frac{v^2}{R}={\omega}^{2}R \)
Radio de Curvtura (R): Es la distancia desde el centro de la trayectoria circular hasta la partícula en movimiento. Es constante para una tractoria circular perfecta.

Periodo (t): Es el tiempo que tarda la partícula en completar una vuelta completa alrededor de la trayectoria circular. Se mide en segundos (s).

Frecuencia (f): Es el número de vueltas que la partícula completa en una unidad de tiempo. Se mide en hertzios (Hz).

Velocidad Angular (ω): Es la tasa de cambio del ángulo con respecto al tiempo. Representa cuán rápido está girando la partícula alrededor del centro de la trayectoria circular. Se mide en radianes por segundo (rad/s).

Posición Angular (θ): Es el ángulo que la línea que une el centro de la trayectoria con la partícula forma con una línea de referencia fija. Se mide en radianes.

Longitud de Desplazamiento (L): Es el desplazamiento lineal del cuerpo en la trayectoria.

Velocidad Tangencial (v): Es la velocidad lineal de la partícula a lo largo de la trayectoria circular.

Movimiento Circunferencial Uniformemente Variado (MCUV)

El movimiento circular se refiere a la trayectoria de una partícula que se desplaza en un camino circular. En particular, el movimiento circular uniformemente variado (MCUV) se caracteriza por una aceleración angular constante (α), lo que significa que la velocidad angular de la partícula cambia uniformemente con el tiempo.
\( {\omega}_f={\omega}_i {\pm} {\alpha}t \)
\( {\theta}={\omega}_it {\pm} \frac{{\alpha}t^2}{2} \)
\( {\theta}=(\frac{{\omega}_i {\pm} {\omega}_f}{2}).t \)
\( {\omega}^2_f={\omega}^2_i {\pm} 2{\alpha}{\theta} \)
\( v_f=v_i{\pm}a_{tan} t \)
\( L=v_it{\pm}\frac{a_{tan} t^2}{2} \)
\( L=(\frac{v_i {\pm} v_f}{2}).t \)
\( v^2_f=v^2_i {\pm} 2a_{tan}L \)
\( L=R{\theta} \)
\( v={\omega}R \)
\( a_{tan}={\alpha}R \)
\( a_c=\frac{v^2}{R}={\omega}^2R \)
Donde
Aceleración Centrípeta (\( a_c \)): Es la aceleración dirigida hacia el centro de la trayectoria circular, que mantiene a la partícula en su camino circular.

Aceleración Angular (\( \alpha \)): Es la tasa de cambio de la velocidad angular con respecto al timepo.

Análisis vectorial del movimiento

El análisis vectorial del movimiento es fundamental para entender cómo las cantidades cinemáticas se relacionan y varían en el espacio.

Vector Posición

Describe la posición de una partícula en el espacio en un instante de tiempo, en un sistema de coordenadas cartesianas, el vector posición es representado en función del tiempo.
\( \vec{r}=r(t) \)

Vector Velocidad

Describe los cambios de la posición respecto del tiempo.
\( \vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt} \)

Vector Aceleración

Describe los cambios de la velocidad respecto al tiempo.
\( \vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} \)